\section{基礎方程式}
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\frametitle{基礎方程式}

\subsection{標準降着円盤モデル}

標準円盤モデルは、以下の近似および簡単化をしている。

\begin{enumerate}
\item 円筒座標系($r,\phi, z$) を用いる
\item 円盤は定常である : $\partial / \partial t \Longrightarrow 0 $
\item 円盤は軸対称である : $\partial / \partial \phi \Longrightarrow 0 $
\item 円盤は幾何学的に薄い。$H \ll r $ : ($r, z$) 2次元 $\Longrightarrow $ (1 + 1) 次元化
\item 円盤はケプラー回転 (遠心力 = 重力) する
\item 円盤は光学的に厚い : $\tau \gg 1$
\item 円盤は黒体放射する
\item 円盤表面単位面積からの単位時間当たりの放射エネルギー量は、放射拡散近似で、
\begin{equation}
F~[\rm{erg/cm}^{-2}\rm{s}^{-1}]= \int (ac/3\kappa \rho) (dT^4/dz) dx \approx 4 \sigma T^4 / 3 \tau 
\end{equation}
と書ける。ここで、
\begin{itemize}
\item 輻射密度定数 $a =  \pi^2 k^4 / 15 c^3 \hbar^3 = 7.57 \times 10^{-15}$ erg/ cm$^{-3}$ K$^{-4}$, 
\item シュテファン--ボルツマン定数 $\sigma =  ac/4 = 5.67 \times 10^{-5}$ erg cm$^{-2}$ K$^{-4}$ s$^{-1}$
\end{itemize}
である。
\item 円盤において、粘性加熱率と放射冷却率がバランスする。
\end{enumerate}

まとめると、
\begin{itemize}
\item 未知の物理量は 10 個 ($\rho, \Sigma, H, v_r, c_s, \Omega, P, T, \tau, \nu$) 
\item 基本方程式は 10 本
\item パラメータは、$M, \dot{M}, \alpha$ の３つ。
\end{itemize}
で式が閉じて、各物理量が $r$ の関数として決定できる。

\begin{figure}[hbt] \begin{center}
\includegraphics[max height=0.7\textheight,max width=0.7\textwidth]{tmpplot.pdf}
\caption{計算結果の例}
\label{entropy_profile} 
\end{center} \end{figure}

\subsection{高温降着流 ADAF}

ADAFモデルは、以下の近似および簡単化をしている。

\begin{enumerate}
\item 円筒座標系($r,\phi, z$) を用いる
\item 円盤は定常である : $\partial / \partial t \Longrightarrow 0 $
\item 円盤は軸対称である : $\partial / \partial \phi \Longrightarrow 0 $
\item 円盤は幾何学的にやや厚めである。$H < r $ : ($r, z$) 2次元 $\Longrightarrow $ (1 + 1) 次元化
\item 円盤は非ケプラー回転 (遠心力 $ < $ 重力) する
\item 円盤は光学的に薄い : $\tau < 1$
\item 円盤は熱制動放射や逆コンプトン散乱, シンクロトロン放射で光る。
\item 円盤において、粘性加熱率と移流冷却率がバランスする。
\end{enumerate}

まとめると、
\begin{itemize}
\item 未知の物理量は 10 個 ($\rho, \Sigma, H, v_r, c_s, \Omega, P, T, \tau, \nu$) 
\item 基本方程式は 10 本
\item パラメータは、$M, \dot{M}, \alpha, l_{in}$ の４つ。(アウトフローがある場合はさらに $r_{disk}$ と $p$が加わる)
\end{itemize}

ここで、$l_{in}$は、ブラックホールに吸い込まれるガスのもつ、単位質量当たりの角運動量を表す。標準円盤との大きな違いは、
運動方程式(4)とエネルギー方程式(6)に現れる。ともに、微分を含んでいることが解析を困難にし、数値的に解く必要がある。
適当な境界条件を与えると、微分方程式が解けて、密度や温度などの物理量が $r$ の関数として決定できる。

\end{frame}
